Hệ thức Vi - ét
Định lí:
Phương trình bậc hai: latex(ax^2 bx c = 0 (a!=0))có latex(Delta >=0) nên phương trình có hai nghiệm: latex(x_1=(-b sqrt(Delta))/(2a); x_2=(-b-sqrt(Delta))/(2a)) Ta có: latex(x_1 x_2 = ) latex(x_1.x_2 = ) latex((-b sqrt(Delta))/(2a) (-b-sqrt(Delta))/(2a) = (-b sqrt(Delta) - b -sqrt(Delta))/(2a) = (-b)/a) latex((-b sqrt(Delta))/(2a).(-b-sqrt(Delta))/(2a)=(b^2-Delta)/(4a^2)=(b^2-b^2 4ac)/(4a^2)=c/a) Giới thiệu Vi-ét:
Phrăng - xoa Vi-ét (F.Viète) sinh năm 1540 tại Pháp. Ông là một nhà toán học nổi tiếng. Chính ông là người đầu tiên dùng chữ kí hiệu các ẩn và cả các hệ số của phương trình, đồng thời dùng chúng trong việc biến đổi và giải phương trình. Nhờ cách dùng chữ để kí hiệu mà Đại số đã phát triển mạnh mẽ... Ngoài việc làm toán ông còn là luật sư và một chính trị gia nổi tiếng. Ông mất năm 1603. ?2:
?2: Kéo các số (chữ) điền vào ô trống để được bài giải hoàn chỉnh
Cho phương trình latex(2x^2-5x 3=0) a) Các hệ số a = ||2||; b = ||- 5||; c = ||3||. Ta có a b c = ||0|| b) Thay latex(x_1 = 1) vào phương trình ta có: latex(2.1^2 - 5.1 3 = 0 )||(đúng)|| Vậy latex(x_1 = 1) là nghiệm của phương trình. c) Áp dụng hệ thức Vi - ét ta có: latex(x_1.x_2) =||latex(3/2)|| hay ||1||latex(.x_2 =3/2) Vậy latex(x_2) =||latex(3/2)|| Tổng quát:
Tổng quát: (SGK/51) Phương trình: latex(ax^2 bx c = 0 (a!=0) * Nếu: a b c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: latex(x_1=1; x_2 = c/a) * Nếu: a - b c = 0 thì phương trình có hai nghiệm: latex(x_1 = - 1; x_2 = (-c)/a) ?3: Tính nhẩm nghiệm của các phương trình sau: a) latex(-5x^2 3x 2 = 0) b) latex(2004x^2 2005x 1 = 0) Ta có: a b c = -5 3 2 = 0 Nên phương trình có hai nghiệm: latex(x_1 = 1; x_2 = -2/5) Ta có: a - b c = 2004 - 2005 1 = 0 Nên phương trình có hai nghiệm: latex(x_1 = -1; x_2 = -1/2004) Tìm hai số biết tổng và tích
TQ:
Cho hai số biết tổng hai số bằng S; tích hai số bằng P. Khi đó hai số là nghiệm của phương trình: latex(x^2 - Sx P = 0) Phương trình có nghiệm khi: latex(S^2 - 4P >=0) Nghiên cứu: Ví dụ 1: (sgk/52) ?5: Tìm hai số có tổng bằng 1, tích của chúng bằng 5. Giải: Hai số cần tìm là nghiệm của phương trình: latex(x^2 - x 5 = 0) Latex(Delta = (-1)^2 - 4.5 = - 19 < 0 Suy ra phương trình vô nghiệm. Vậy không tồn tại hai số có tổng bằng 1 và tích bằng 5. Nhẩm nghiệm:
Ví dụ 2: Tính nhẩm nghiệm của phương trình latex(x^2 - 5x 6 = 0) Giải: Ta có: latex(-b/a = 5 = 2 3) latex(c/a = 6 = 2.3) Nên latex(x_1 = 2; x_2 = 3) là nghiệm của phương trình đã cho. Luyện tập
Bài 25::
Bài 25: (SGk/52) Không giải phương trình, điền vào chỗ trống thích hợp.
a) latex(2x^2-17x 1 = 0) latex(Delta) = ||281|| latex(x_1 x_2) = ||latex(17/2)|| latex(x_1.x_2)=||latex(1/2)|| b) latex(5x^2- x - 35 = 0) latex(Delta) = ||701|| latex(x_1 x_2) = ||latex(1/5)|| latex(x_1.x_2)=||latex(-7)|| c) latex(8x^2 - x 1 = 0) latex(Delta) = ||-31|| latex(x_1 x_2) = ||không có|| latex(x_1.x_2)=||không có|| d) latex(25x^2 10x 1 = 0) latex(Delta) = ||0|| latex(x_1 x_2) = ||latex(-2/5)|| latex(x_1.x_2)=||latex(1/25)|| Bài 26::
Dùng điều kiện a b c = 0 hoặc a - b c = 0 nhẩm nghiệm các phương trình sau đó kéo đáp án đúng vào chỗ chấm.
a) latex(35x^2 - 37x 2 = 0) có hai nghiệm ||latex(x_1=1; x_2 = 2/35)|| b) latex(7x^2 500x - 507 = 0) có hai nghiệm ||latex(x_1=1; x_2 = -507/7)|| c) latex(x^2 - 49x - 50 = 0) có hai nghiệm ||latex(x_1=- 1; x_2 = 50)|| d) latex(4321x^2 21x - 4300 = 0) có hai nghiệm ||latex(x_1= -1; x_2 = 4300/4321)|| Bài toán:
Nhẩm nghiệm phương trình sau bằng hai cách: latex(x^2 5x-6 = 0) Giải Cách 1: Vì a b c = 1 5 (-6) = 0 Nên phương trình có hai nghiệm:latex(x_1=1;x_2 = - 6) Cách 2: Ta có: latex(-b/a = -5 = 1 (-6) latex(c/a = -6 = 1.(-6) Nên phương trình có hai nghiệm: latex(x_1=1;x_2=-6) Hướng dẫn về nhà
DD:
Hướng dẫn về nhà: 1/ Học thuộc định lí Vi - ét; Nhẩm nghiệm trong hai trường hợp đặc biệt về hệ số; Cách tìm hai số biết tổng và tích. 2/ Bài tập: Bài 27; 28 (SGK/53) Xem trước các bài tập phần luyện tập (SGK/54)